可逆线性变换会改变二次型的大小吗

Question

如题所述

Answer 1

可逆线性变换会改变二次型的大小吗
首先要说的是什么是线性变换，线性变换就是变量的一个重新线性组合，例如对于一个n\times m的矩阵A，就可以看成一个线性变换，以n=2,m=2为例，如果A=\begin{equation}
\left(
\begin{array}{cc}
3&1\\
2&4

\end{array}
\right)
\end{equation}，那么对于任何一个空间元素x=(x_1,x_2)，它有两个变量x_1,x_2，而变换Ax之后就得到了一个新的元素y，它也有两个变量y_1,y_2，y_1=3x_1+x_2,y_2=2x_1+4x_2，由此可见新得到的两个变量是原先两个变量的一个新的线性组合，这就是线性变换。

由此可见，任何一个矩阵都对应一个线性变换，并且线性变换都可以表示成矩阵的形式。所以简单的说，线性变换可以说就是一个矩阵。

那么线性变换会不会改变矩阵的正定性呢？

答案是线性变换可以将正定矩阵变成半正定的，甚至可以变成负定的，原因如下。

对于一个正定矩阵M，显然可逆，那么任意取一个矩阵N，无论它是不是正定的，我总可以找到一个矩阵A=NM^{-1}，使得AM=N，由于N可以是半正定的，也可以是负定的，所以存在一种线性变换A=NM^{-1}，使得正定矩阵M变为任意型的矩阵N。

对于非退化的线性变换，线性变换对应的矩阵满秩，所以不可能将正定矩阵变成半正定或者半负定的，但是可能变成负定的。