证明二元函数可微性: 判定二元函数的可微性,关键要理解二元函数连续、
偏导数存在、方向导数存在、偏导数存在且连续这四个概念与可微之间的关系。本文着重分析这四种关系,给出判定二元函数在某点可微的方法。关键词: 二元函数 连续 偏导数 可微 方向导数对于一元函数,可微性比较容易判定。因为一元函数在某个点连续、可导、可微这三个概念的关系是很清楚的,可简单地表示为:可微?圳可导?圯连续。首先,对于以一元函数,比较简单,可微一定可导,可导一定可微。对于多元函数:偏导数存在不一定可微,可微一定存在偏导.(还有,偏导数存在时函数不一定连续)二元函数,可微的
充要条件是: z=f(x,y)在(Xo,Yo)处的偏导数f`x(Xo,Yo),f`y(Xo,Yo)存在 且 {Δz-[f`x(x0,y0)h+f`y (x0,y0)k]}/ ρ=0 ( ρ→0) 其中 k=Δx h=Δy ρ=就是动点和定点的距离,那个式子 根下(x-xo)2+(y-yo)2。证明方法:1、用定义去验证。 2、利用
充分条件 验证偏
导函数连续。二元可微的条件:
必要条件:若函数在某点可微,则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。充分条件:若函数对x和y的偏导数在这点的某一
邻域内都存在,且均在这点连续,则该函数在这点可微。