考研数学 概率论 二维随机变量函数的概率分布问题？
设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)=e^x , 1-×≤y≤1,0≤x≤1 ，
f(x,y)=1 , 其他
(1)求Z=max{X,Y}的密度函数
(2)求Z=min{X,Y}的密度函数
首先，我们可以通过求解累积分布函数（CDF）来求解Z的密度函数。
(1) 求Z=max{X,Y}的密度函数：
对于Z=max{X,Y}，我们可以通过计算其累积分布函数来求解其密度函数。
首先，我们可以计算Z的CDF，即P(Z≤z)。
当z<0时，P(Z≤z)=0，因为Z的取值范围是非负数。
当0≤z≤1时，P(Z≤z)=P(max{X,Y}≤z)。
根据最大值的性质，我们可以得到以下两种情况：
当z≤1时，P(max{X,Y}≤z)=P(X≤z,Y≤z)。
由于X和Y是独立的，我们可以将其联合概率密度函数拆分为边缘概率密度函数的乘积：
P(X≤z,Y≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)。
根据给定的密度函数，我们可以计算边缘概率密度函数：
P(X≤z)=∫[0,z]∫[z,1]f(x,y)dydx。
P(Y≤z)=∫[0,z]∫[z,1]f(x,y)dxdy。
将f(x,y)代入上述积分式中，我们可以计算出P(X≤z)和P(Y≤z)。
当z>1时，P(max{X,Y}≤z)=1，因为Z的取值范围是非负数。
综上所述，我们可以得到Z的CDF：
F(z) = { 0, z < 0 P(X≤z)P(Y≤z), 0 ≤ z ≤ 1 1, z > 1 }
然后，我们可以对CDF求导数，即可得到Z的密度函数。
f(z) = dF(z)/dz
对于0 ≤ z ≤ 1，我们可以计算f(z)如下：
f(z) = d/dz [P(X≤z)P(Y≤z)]
对于z > 1，f(z) = 0。
综上所述，Z的密度函数为：
f(z) = { (1-z)e^z, 0 ≤ z ≤ 1 0, z > 1 }
(2) 求Z=min{X,Y}的密度函数：
对于Z=min{X,Y}，我们可以通过计算其累积分布函数来求解其密度函数。
首先，我们可以计算Z的CDF，即P(Z≤z)。
当z<0时，P(Z≤z)=0，因为Z的取值范围是非负数。
当0≤z≤1时，P(Z≤z)=P(min{X,Y}≤z)。
根据最小值的性质，我们可以得到以下两种情况：
当z≤1时，P(min{X,Y}≤z)=1-P(X>z,Y>z)。
由于X和Y是独立的，我们可以将其联合概率密度函数拆分为边缘概率密度函数的乘积：
P(X>z,Y>z)=P(X>z)P(Y>z)。
根据给定的密度函数，我们可以计算边缘概率密度函数：
P(X>z)=1-P(X≤z)=1-∫[0,z]∫[z,1]f(x,y)dydx。
P(Y>z)=1-P(Y≤z)=1-∫[0,z]∫[z,1]f(x,y)dxdy。
将f(x,y)代入上述积分式中，我们可以计算出P(X>z)和P(Y>z)。
当z>1时，P(min{X,Y}≤z)=1，因为Z的取值范围是非负数。
综上所述，我们可以得到Z的CDF：
F(z) = { 0, z < 0 1-P(X>z)P(Y>z), 0 ≤ z ≤ 1 1, z > 1 }
然后，我们可以对CDF求导数，即可得到Z的密度函数。
f(z) = dF(z)/dz
对于0 ≤ z ≤ 1，我们可以计算f(z)如下：
f(z) = d/dz [1-P(X>z)P(Y>z)]
综上所述，Z的密度函数为：
f(z) = { (1-z)e^z, 0 ≤ z ≤ 1 0, z > 1 }
（1）求Z = max{X, Y}的密度函数：
1. 我们需要找出Z = max{X, Y}在不同区域上的分布情况。
2. 当X ≤ Y时，Z = Y；当X > Y时，Z = X。
3. 根据密度函数 f(x, y) 的定义域，我们可以分为两个情况来计算：
a. 当1 - x ≤ y ≤ 1 且 0 ≤ x ≤ 1 时，Z = Y，因此，P(Z ≤ z) = P(Y ≤ z) = ∫[1 - z, 1] ∫[0, 1] e^x dy dx。
b. 当其他情况时，Z = X，因此，P(Z ≤ z) = P(X ≤ z) = ∫[0, z] ∫[z - 1, 1] e^x dy dx。
4. 计算得到累积分布函数 F_Z(z) = P(Z ≤ z)。
5. 求导得到密度函数 f_Z(z) = d/dz F_Z(z)。
（2）求Z = min{X, Y}的密度函数：
1. 我们需要找出Z = min{X, Y}在不同区域上的分布情况。
2. 当X ≤ Y时，Z = X；当X > Y时，Z = Y。
3. 根据密度函数 f(x, y) 的定义域，我们可以分为两个情况来计算：
a. 当1 - x ≤ y ≤ 1 且 0 ≤ x ≤ 1 时，Z = X，因此，P(Z ≥ z) = P(X ≥ z) = ∫[z, 1] ∫[1 - x, 1] e^x dy dx。
b. 当其他情况时，Z = Y，因此，P(Z ≥ z) = P(Y ≥ z) = ∫[z - 1, 1] ∫[z, 1] e^x dy dx。
4. 计算得到累积分布函数 F_Z(z) = P(Z ≥ z)。
5. 求导得到密度函数 f_Z(z) = -d/dz F_Z(z)。本回答被网友采纳
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