线性代数问题，高手进

Question

设实方阵A不等于0矩阵，且A的伴随矩阵等于A的转置，证明det A不等于0…在线等，急！

Answer 1

反证法，假设det A等于0

A'=AT
则AA'=AAT
AA'=|A|E
则，det A等于0
则AAT=0
对角线上的元素为：a11^2+a12^2+a13^2+...
a21^2+a22^2+a23^2+...
a31^2+a32^2+a33^2+...
.....
则只有A=0，才使得AAT=0
因为：实方阵A不等于0矩阵
所以假设不成立，
则det A不等于0

Answer 2

注意到AA'=0等价于A=0就行了

Answer 3

特征值的重数其实是指代数重数，也就是特征多项式里面相应的根的重数。
比如特征多项式如果是(x-1)^3(x-2)(x-4)^3
那么1就是3重特征值，2是1重特征值，4是3重特征值。
每个特征值的度数(也叫几何重数)是指它对应的线性无关特征向量的最大个数，度数小于等于重数。当矩阵的所有特征值的重数等于度数的时候矩阵可对角化。
上面主要是定义，要理解对角化可以这样看：
如果A=PDP^{-1}，重新写一下就是AP=PD，分析每一列就可以看出来P的每一列都是A的特征向量，也就是说一定要有“足够多”的特征向量才能让A对角化。