怎么证明一个函数总可以表示为一个偶函数和一个奇函数之和

Question

如题所述

Answer 1

任意函数f(x),构造两个函数，g(x),h(x)

其中，g(x)=(f(x)-f(-x))/2

h(x)=(f(x)+f(-x))/2

由于g(-x)=(f(-x)-f(x))/2=-g(-x)

h(-x)=(f(-x)+f(x))/2=h(x)

所以g(x)为奇函数，h(x)为偶函数

g(x)+h(x)=(f(x)-f(-x))/2

＋

(f(x)+f(-x))/2

＝

f(x)。

表示

首先要理解，函数是发生在集合之间的一种对应关系。然后，要理解发生在A、B之间的函数关系有且不止一个。最后，要重点理解函数的三要素。

函数的对应法则通常用解析式表示，但大量的函数关系是无法用解析式表示的，可以用图像、表格及其他形式表示。

Answer 2

任意函数f(x),构造两个函数,g(x),h(x)
其中,g(x)=(f(x)-f(-x))/2
h(x)=(f(x)+f(-x))/2
由于g(-x)=(f(-x)-f(x))/2=-g(-x)
h(-x)=(f(-x)+f(x))/2=h(x)
所以g(x)为奇函数,h(x)为偶函数
g(x)+h(x)=(f(x)-f(-x))/2
+
(f(x)+f(-x))/2
=
f(x)。