在数列{An}中，已知A1=1,A2=4,An+2=2An+1-An+2,求数列{An}的通式公式。要过程，谢了

Question

老师讲的好像要用叠加法
我不知道如何叠加，请给出过程

Answer 1

解：∵在数列{a[n]}中，已知a[1]=1,a[2]=4,a[n+2]=2a[n+1]-a[n]+2
∴(a[n+2]-a[n+1])-(a[n+1]-a[n])=2
∴{a[n+1]-a[n]}这个数列就是一个等差数列
∵上述数列首项是a[2]-a[1]=3，公差是2
∴a[n+1]-a[n]=3+2(n-1)
a[n]-a[n-1]=3+2[(n-1)-1]
...
a[3]-a[2]=3+2(3-1)
a[2]-a[1]=3+2(1-1)
将上述n项进行叠加：
a[n+1]-a[1]=3n+2(n(n+1)/2-n)
a[n+1]=3n+n^2+n-2n+a[1]
a[n+1]=n^2+2n+1
a[n+1]=(n+1)^2
即：a[n]=n^2

Answer 2

先想办法把已知的二阶递推关系转化为一阶的，就这道题目而言题设条件可以直接变形为(An+2-An+1)=(An+1-An)+2，于是{An+1-An}这个数列就是一个等差数列，其中首项是A2-A1=3，公差是2，既然它是等差数列，所以它就具有等差数列的通项公式，也就是An+1-An=3+2(n-1)，整理以后就得到关于An+1和An的一阶递推关系：An+1=An+2n+1，对于诸如此类的An+1=An+f(n)形式的递推关系，如果f(n)是可以较容易求和的，就可以采用叠加法，其后的过程我想应该不用多说了。

Answer 3

An=n^2.(n=1,2,3,...)