求大神解决一个关于隐函数求2阶导的问题

Question

x²=xy+1，求二阶导数。
按照隐函数求导方法：
2x=y+xy′
y′=(2x-y)/x
y′′=(2x-xy′-2x+y)/x²=(y-xy′)/x²=（2y-2x）/x²
请问这个函数可以转换成显函数求解吗？
y=（x²-1）/x
这样算出来又等于：
y′′=-2/x^3
谢谢大神解惑，是不是隐函数求导不能转换为显函数再求导，或者是计算错误。

Answer 1

方法如下，
请作参考：

若有帮助，
请采纳。

Answer 2

题主，你把y=（x²-1）/x代入隐函数求导的结果y''=（2y-2x）/x²，就是你转化成显函数再求的结果了，没有错的追问

感谢解惑！假如考试中，用隐函数求出（2y-2x）/x²，还需要带入显函数，求得y′′=-2/x^3吗？再或者能否变成显函数，直接求解就行？

追答

我的理解是，如果像这种能够容易写出显函数形式的函数的话，我会进一步化简

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Answer 3

x^2=xy+1
d/dx (x^2) =d/dx (xy+1)
2x = x.dy/dx + y
dy/dx = (2x-y)/x
d^2y/dx^2
=d/dx(dy/dx )
=[x. (2- dy/dx) - (2x-y) ]/x^2
=[y - x.dy/dx ]/x^2
=[y - (2x-y) ]/x^2
=2(y-x)/x^2