将二次型f(x1, x2, x3) = x1^2 + 5x2^2 + 5x3^2 + 2x1x2 - 4x1x3化为标准型,可以使用配方法来实现。
步骤如下:
将x1、x2、x3的系数分别变为1,使得f(x1, x2, x3) = x1^2 + x2^2 + x3^2 + 2x1x2 - 4x1x3。
对f(x1, x2, x3)进行变换,使得f(x1, x2, x3) = (x1 + x2 - 2x3)^2 - x2^2 - x3^2。
对f(x1, x2, x3)进行变换,使得f(x1, x2, x3) = (x1 + x2 - 2x3)^2 + (x2 - x3)^2。
最终得到的f(x1, x2, x3) = (x1 + x2 - 2x3)^2 + (x2 - x3)^2就是标准型。
所对应的可逆线性变换为:
x1 = x1 + x2 - 2x3
x2 = x2 - x3
x3 = x3
注意:上述变换是可逆的,也就是说可以通过逆变换将标准型还原为原来的二次型。
希望以上内容能帮到您,如果您有其他疑问,欢迎提出。