函数f(x)的一阶导数在某一点的去心邻域内大于0，并且一阶导函数在这一点处连续，能说明函数f(x)？

Question

函数f(x)的一阶导数在某一点的去心邻域内大于0，并且一阶导函数在这一点处连续，能说明函数f(x)在这一点邻域内单调增吗？

Answer 1

根据函数的单调性定理，如果函数�(�)f(x)的一阶导数在某点�0x0的去心邻域内大于0，并且一阶导函数在这一点处连续，那么函数�(�)f(x)在�0x0的某个邻域内是严格单调递增的。
这里是基于以下数学事实：如果导数�′(�)f′(x)在某区间内恒大于0，则函数�(�)f(x)在该区间内严格单调递增。连续性保证了在点�0x0处，导数�′(�)f′(x)没有跳跃，即没有从正变为负或相反的情况，这样就可以保证在�0x0的某个邻域内，函数�(�)f(x)保持单调递增。
总结一下，如果一个函数在某点的去心邻域内的一阶导数恒大于0，并且一阶导数在该点连续，则可以断定该函数在这一点的邻域内是单调递增的。