可以认为对称矩阵的奇异值等于特征值的绝对值吗？如何证明

Question

如题所述

Answer 1

对于实对称矩阵，特征值的绝对值就是奇异值
证明很容易，先做谱分解A=QDQ^T，然后把D表示成D=D1D2的形式，其中D2=|D|，相差的符号都归到D1里，那么A=(QD1)D2Q^T就是奇异值分解
这种完全是基础结论，如果不会应该好好补基本功

Answer 2

实对称矩阵可以这么认为，复数域下不行。
实数域下要证明太简单了，A如果是实对阵矩阵，那么它的共轭转置还是A，A乘以A的共轭转置等于A平方，假如A的特征值为λi，A平方的特征值等于λi^2，实数域下λi^2必定是正的，所以A的奇异值就等于λi^2开根号，恰好等于λi的绝对值。
复数域下不成立，因为λi^2在复数域不一定非负的。