高中函数求详解

Question

设函数f（x）=x ²-（ a+2）x+alnx,g(x)=2alnx-4x+b,其中a>0,b∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性(2)若a>2且方程f(x)=g(x)在（1，+∞）上有两个不相等的实数根x1，x2，求证f’(x1+x2)/2>0 拜托给个详解 高三人不容易

Answer 1

1.待定系数法

例1.求一次函数y=f(x)解析式，使f(f(x))=4x+3.

解：设f(x)=ax+b(a≠0).

∴f(f(x))==af(x)+b

=a(ax+b)+b

=a^2x+ab+b

∴a^2x+ab+b=4x+3

∴a^2=4,ab+b=3

解得a=2,b=1或a=-2,b=-3.

∴f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.

总结：当已知函数类型时，求函数解析式，常用待定系数法。其基本步骤：设出函数的一般式，代入已知条件通过解方程（组）确定未知系数。

2.换元法

换元法就是引进一个或几个新的变量来替换原来的某些量的解题方法，它的目的是化繁为简、化难为易，以快速的实现从未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。

常见换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、分母换元、平均换元等，应用极为广泛。

例2.已知f(1-√x)=x.求f(x).

解：设1-√x=t,

则x=(1-t)^2

∵x≥0,∴t≤1,

∴f(t)=(1-t)^2(t≤1)

∴f(x)=(1-x)^2(x≤1)(函数变量的无关性)

总结：(1)利用换元法解题时，要注意在换元时易引起定义域的变化，所以最后的结果要注意所求函数的定义域。

(2)函数变量的无关性，变量无论是用x还是用t表示，都无关紧要，函数依然成立。

3.配凑法

例3.已知f(3x+1)=9x^2-6x+5,求f(x).

解：∵f(3x+1)=9x^2-6x+5

=(3x+1)^2-12x+4

=(3x+1)^2-4(3x+1)+8

∴f(x)=x^2-4x+8

总结：当已知函数表达式比较简单时，可直接应用配凑法，即根据具体的解析式凑出复合变量的形式，从而求出函数解析式。

4.消元法（又叫解方程组法）

例4.已知函数f(x)满足条件：f(x)+2f(1/x)=x,求f(x).

分析：用1/x代替条件方程中的x得：f(1/x)+2f(x)=1/x.把它与原条件式联立。用消元法消去f(1/x),即得f(x)的解析式。其实质也就是解函数方程组。

解：设1/t=x,代入f(x)+2f(1/x)=x①中得：

f(1/t)+2f(t)=1/t

即：f(1/x)+2f(x)=1/x②

由②×2-①得：f(x)=(2-x^2)/3x

例5.已知2f(x)-3f(-x)=2x,求f(x).

解：用-x代替x得：2f(-x)-3f(x)=-2x①,

原条件2f(x)-3f(-x)=2x②

由①×3+②×2得：

f(x)=2x/5.

5.赋值法

例6.已知f(0)=1,f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x).

分析：函数f(x)在实数范围类都成立的，所以对实数范围内的某些特殊值也是成立的，我们结合题中条件的特点，可令a=0.进而求解。

解：令a=0,则f(-b)=f(0)-b(-b+1)

∵f(0)=1

∴f(-b)=f(0)-b(-b+1)=1+b^2-b

令x=-b

则：f(x)=x^2+x+1

6.图像法

例7.已知函数f(x)的图像如图所示，求出函数f(x)的解析式



。解：由图像可知，该函数是分段函数，分别对每段函数求出解析式，易得：

当0≦x≦1时，f(x)=-x+1

总结：已知函数图像求函数解析式，对于这类问题我们只要能够准确的应用题中图像给出的已知条件确定解析式即可。

Answer 2

就这样的函数的话他属于是那种复合函数这样的话你把图像画出来就能看他担尿