设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(0<a<b),证明,f(b)-f(a)=ξf'(ξ)lnb/a

Question

如题所述

Answer 1

利用柯西中值定理证明。
设g(x)=lnx，则根据条件可知：
f(x)，g(x)在(a,b)上满足柯西中值定理条件，
∴在(a,b)上存在ξ，使得：
[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ)
即：[f(b)-f(a)]/ln(b/a)=f'(ξ)/(1/ξ)
移项整理即得：f(b)-f(a)=ξf'(ξ)ln(b/a)

Answer 2

令g(x)=lnx，则g'(x)=1/x，对f(x)和g(x)使用柯西中值定理，有[f(b)-f(a)]/(lnb-lna)=f'(ξ)/(1/ξ)，整理后就是f(b)-f(a)=ξf'(ξ)lnb/a