证明: 设λ是A的特征值则 λ^2-1 是 A^2-E=0 的特征值 (定理)而零矩阵的特征值只能是0所以 λ^2-1=0所以 λ=1 或 -1。
定义 设A是n阶方阵,如果数λ和n维非零列向量x使关系式
AX=λX (1)
成立,那么这样的数λ称为矩阵A特征值,非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量.(1)式也可写成,
( A-λE)X=0 (2)
这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式
| A-λE|=0 , (3)
性质定理
1.可逆矩阵一定是方阵。
2.如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的。
3.A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作(A-1)-1=A。
4.可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T (转置的逆等于逆的转置)
5.若矩阵A可逆,则矩阵A满足消去律。即AB=O(或BA=O),则B=O,AB=AC(或BA=CA),则B=C。
6.两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
7.矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。