高中数学题

Question

在全国高中数学联赛第二卷中只有三道题，已知：
（1）某校25个学生参赛，每个学生至少答出一道题；
（2）在所有没有解答出第一题的学生中，解答出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍；
（3）只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多一人；
（4）只解出一道题的学生中有一半没有解出第一题。
问：共有多少学生只解出第二题？
最好有过程，我会提高悬赏分

Answer 1

在全国高中数学联赛中第二卷只有三道题目,已知下列条件:
1.某校25个学生参加联赛,每个学生至少解出一道题目;
2.在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题人数的两倍;
3.只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1;
4.只解出第一题的学生中,有一半的学生没有解出第一题
请问:共有多少学生只解出第二题?

提问者： 十二世 - 试用期 一级 答复 共 2 条
检举解：根据已知条件(1)，(2)，(3)，(4)可得

a+b+c+d+e+f+g＝25,①

b+f＝2(c+f),②

a＝d+e+g+1,③

a＝b+c.④

②代入①得a+2b-c+d+e+g＝25,⑤

③代入⑤得2b-c+2d+2e+2g＝24,⑥

④代入⑤得3b+d+e+g＝25,⑦

⑦×2-⑥得4b+c＝26.⑧

由于c≥0，所以b≤6.5 .

利用②、⑧消去c，得f＝b-2(26-4b)＝9b-52.

因为f≥0，所以b≥5又7/9 .

则有b＝6，即只解出第二题的学生有6人.

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/35295445.html

Answer 2

设只做出第一题的x人，只做出第二题的y-m人，只做出第二第三题的人是m人
根据给出要求的列方程：
25-（2x-1）=0.5y-m
x=y-m+0.5y-m
得到52+10m=9y
解得可行解m=2，y=8
m=11，y=18（这组没验证，觉得不太对）
最后应该是y-m=6人

Answer 3

分析 本题的条件较多，利用文氏图，设解出第一、二、三道题的学生的集合为A、B、C，并用三个圆分别表示，则重叠部分表示同时解出两道题或三道题的集合，这样得到七个部分，其人数分别用a,b,c,d,e,f,g表示，然后，根据已知条件列出方程组求出b.
解：根据已知条件(1)，(2)，(3)，(4)可得 a+b+c+d+e+f+g＝25,①
b+f＝2(c+f),②
a＝d+e+g+1,③
a＝b+c.④
②代入①得a+2b-c+d+e+g＝25,⑤
③代入⑤得2b-c+2d+2e+2g＝24,⑥
④代入⑤得3b+d+e+g＝25,⑦
⑦×2-⑥得4b+c＝26.⑧
由于c≥0，所以b≤6又(1/2) 利用②、⑧消去c，得f＝b-2(26-4b)＝9b-52. 因为f≥0，所以b≥5又(7/9) 则有b＝6，即只解出第二题的学生有6人.
注：文氏图即韦恩图