配方法相比正交法简单,但是在元较多的时候也不方便。这时考虑用合同变换法。合同变换:对A做一次初等行变换,接着对所得方阵做一次同种同位的初等列变换。实质:x=Cy f=xTAx=(Cy)TACy=yTCTACy=yT对角阵y 只需CTAC=对角阵 又因为C=p1...ps p1...ps是初等方阵所以(p1...ps)TAp1...ps=对角阵即psT...p1TAp1...ps=对角阵(s次行,s次列构成s次合同变换变成对角阵)而psT...p1T=psT...p1TE=CT(E同时跟着A做相同的行
初等变换就变成了CT) x=Cy求得CTT=C,在求出对角阵的同时,也能求出可逆变换C矩阵的转置,(AE)~(对角阵CT),CTT做可逆线性变换x=Cy,则该变换将f化成标准形f=k1y12...kryr2。具体计算中:先写出
二次型的A的矩阵形式拼单位阵,变换左半为对角阵,要灵活运用三种初等变换(交换,倍数,加倍都需要行列相继对应变换),当
对角线元素为零时,单纯交换不能解决问题,采用具有规律性的后行/列加前行/列,写在题目最后的一句话:做可逆变换x=Cy即(矩阵形式),把f做成标准形f=...。注意:用配方法或合同变换解题时,系数不是A的
特征值,只有用
正交变换才是特征值,它们的共同点是:项数一样,符号一样。变换得出左半对角阵即可写出标准形。
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