数学证明题 2

Question

已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

请写出详细过程

Answer 1

（1）求证：四边形ADCE为矩形；
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC,既∠DAC=∠BAC/2, 而∠EAC=∠CAM/2,
∴∠DAE=∠DAC+∠EAC=∠BAC/2+∠CAM/2=90°
又∵∠ADC=∠AEC=90°
∴四边形ADCE为矩形
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
当∠ABC=45°时，四边形ADCE是一个正方形
证明：∵∠ABC=45°，∴∠ACD=45°，
∵AD⊥BC，∴∠DAC=45°，
∴AD=DC,
∴四边形ADCE是一个正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）

Answer 2

（1）角C=1/2(180-角A）=1/2角CAM=角CAE，所以AN平行BC
而AD垂直于BC，而BC平行AN，所以AD垂直于AN，而CE垂直于AN，所以AD平 行于CE，所以四边形ADEC是平行四边形。
而平行四边形中有一个直角，所以该平行四边形是矩形。

（2）因为矩形ADCE是矩形，且是正方形，所以AD=DC，所以角C=45，而AB=AC，所以角B也是45，所以角A=90
所以三角形ABC是等腰直角三角型

Answer 3

1 ∵△ABC中，AB=AC,AD⊥BC
∴∠BAD=∠DAC(三线合一）
又 ∵AE是∠CAM的平分线，∴∠CAE=∠EAM
∴∠DAC+∠CAE=∠DAE=1/2∠BAM=1/2*180=90°
∴∠DAE是直角，又 ∵AD⊥BC，CE⊥AN
∴∠ADC和∠AEC是直角
∴四边形ADCE为矩形

2假设四边形ADCE是一个正方形，
∴AD=DC，AD⊥BC
∴∠ADC=90°
∴∠DCA=1/2(180-90)=45°
∴要是三线合一成立，就要让是△ABC首先是等腰三角形
∴当△ABC是等腰三角形且∠DCA=45°时，才成立

Answer 4

①
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB
又∵AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=1/2 ∠BAC
∵AE平分∠MAC，∴∠EAC=1/2 ∠MAC
∠BAC+∠MAC=180°
∴∠DAE=90°
三个九十°的四边形就是矩形了

②
若四边形ADCE是正方形，需要AD=CD，所以当△ABC是等腰直角三角形的时候，………
过程好写，但是打出来太麻烦了。。。

Answer 5

过C作AB的垂线CE交AB于E（自己画画），则因为角CAB=120，所以角CAE=60。在直角三角形CAE中，因为AC=2,所以AE=1，CE=根号3，所以BE=AE+AB=1+4=5，所以由勾股定理，BC=2根号7。再由面积法，三角形ABC的面积S=1/2(AB乘CE)=1/2(AD乘BC），所以AD=AB乘CE再除以BC，所以AD=2/7乘根号21。
（如果学了正余弦定理，可以更快些）