已知二次函数y=x²-2mx-2m²（m≠0）

Question

如题所述

Answer 1

解：（1）因为△=(-2m)²-4×1×(-2m²)=12m²
因为m≠0
所以12m²
>0恒成立
所以A、B是X轴上的两个不同交点

(2)
令二次函数的顶点为N
由题意可得E(m,-3m²)
因为E在以AB为直径的圆上,所以△ABE是直角三角形
过E做EF⊥AB交AB与F
令x²-2mx-2m²=0
解得x1=m-√3|m|
x2=m+√3|m|
在Rt△ABC中由射影定理可得
EF²=AF*BF
所以(-3m²)²=[m-(m-√3|m|)][(m+√3|m|)-m]
解得m=±√3/3
所以y=x²-(2√3/3)x-2/3
或
y=x²+(2√3/3)x-2/3

(3)由题意可得C、D关于O点对称
因为m=±√3/3
x1=m-√3|m|
x2=m+√3|m|
当m=√3/3时
A(√3/3-1,0 )
B(√3/3+1,0)
所以AO=1-√3/3
BO=1+√3/3
因为△ABC是Rt△
所以CO²=AO*BO
所以CO²=91-√3/3)(1+√3/3)=2/3
所以CO=√6/3
那么CD=2CO=2√6/3
当m=-√3/3 同理可得 CD= 2√6/3

Answer 2

1.△=12m^2>0,所以A、B是x轴上的两个不同的交点
2.图像的顶点坐标为（m，-3m^2）,其到x轴的距离为3m^2,
而A、B之间的距离为｜x1-x2｜=√[(x1+x2)^2-4x1x2]=√[(-2m)^2-4*(-2m^2)]=2√3｜m｜
所以，3m^2*√2=2√3｜m｜，解得m=±√6/3
所以函数解析式为y=x²±√6/3x-4/3
3.圆的直径为2√3｜m｜=2√3｜±√6/3｜=2√2
所以圆的方程为(x±√6/3)^2+y^2=2
(两个圆)
令x=0，则y=±2√3/3
所以CD的长为2*2√3/3=4√3/3