2009年中考数学压轴题汇编(含部分解题过程)
（2009年北京）25.如图，在平面直角坐标系 中， 三个机战的坐标分别为
， ， ，延长AC到点D,使CD= ,过点D作DE‖AB交BC的延长线于点E.
（1）求D点的坐标；
（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线 将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）设G为y轴上一点，点P从直线 与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）
（2009年重庆市）26．已知：如图，在平面直角坐标系 中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为 ，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26．解：（1）由已知，得 ， ，
，
．
． （1分）
设过点 的抛物线的解析式为 ．
将点 的坐标代入，得 ．
将 和点 的坐标分别代入，得
（2分）
解这个方程组，得
故抛物线的解析式为 ． （3分）
（2） 成立． （4分）
点 在该抛物线上，且它的横坐标为 ，
点 的纵坐标为 ． （5分）
设 的解析式为 ，
将点 的坐标分别代入，得
解得
的解析式为 ． （6分）
， ． （7分）
过点 作 于点 ，
则 ．
，
．
又 ，
．
．
． （8分）
．
（3） 点 在 上， ， ，则设 ．
， ， ．
①若 ，则 ，
解得 ． ，此时点 与点 重合．
． （9分）
②若 ，则 ，
解得 ， ，此时 轴．
与该抛物线在第一象限内的交点 的横坐标为1，
点 的纵坐标为 ．
． （10分）
③若 ，则 ，
解得 ， ，此时 ， 是等腰直角三角形．
过点 作 轴于点 ，
则 ，设 ，
．
．
解得 （舍去）．
． （12分）
综上所述，存在三个满足条件的点 ，
即 或 或 ．
（2009年重庆綦江县）26．（11分）如图，已知抛物线 经过点 ，抛物线的顶点为 ，过 作射线 ．过顶点 平行于 轴的直线交射线 于点 ， 在 轴正半轴上，连结 ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点 从点 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线 运动，设点 运动的时间为 ．问当 为何值时，四边形 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若 ，动点 和动点 分别从点 和点 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿 和 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为 ，连接 ，当 为何值时，四边形 的面积最小？并求出最小值及此时 的长．
*26．解：（1） 抛物线 经过点 ，
1分
二次函数的解析式为： 3分
（2） 为抛物线的顶点 过 作 于 ，则 ，
4分
当 时，四边形 是平行四边形
5分
当 时，四边形 是直角梯形
过 作 于 ， 则
（如果没求出 可由 求 ）
6分
当 时，四边形 是等腰梯形
综上所述：当 、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． 7分
（3）由（2）及已知， 是等边三角形
则
过 作 于 ，则 8分
= 9分
当 时， 的面积最小值为 10分
此时
11分
（2009年河北省）26．（本小题满分12分）
如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与
t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成
为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．
26．解：（1）1， ；
（2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴ ．
由△AQF∽△ABC， ，
得 ．∴ ．
∴ ，
即 ．
（3）能．
①当DE‖QB时，如图4．
∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
此时∠AQP=90°．
由△APQ ∽△ABC，得 ，
即 ． 解得 ．
②如图5，当PQ‖BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ =90°．
由△AQP ∽△ABC，得 ，
即 ． 解得 ．
（4） 或 ．
【注：①点P由C向A运动，DE经过点C．
方法一、连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．
， ．
由 ，得 ，解得 ．
方法二、由 ，得 ，进而可得
，得 ，∴ ．∴ ．
②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．
， 】
（2009年河南省）23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD
向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?
请直接写出相应的t值.
解.(1)点A的坐标为（4，8） …………………1分
将A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx
8=16a+4b
得
0=64a+8b
解 得a=- ,b=4
∴抛物线的解析式为：y=- x2+4x …………………3分
（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE= = ,即 =
∴PE= AP= t．PB=8-t．
∴点E的坐标为（4+ t，8-t）.
∴点G的纵坐标为：- （4+ t）2+4(4+ t）=- t2+8. …………………5分
∴EG=- t2+8-(8-t)
=- t2+t.
∵- ＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2. …………………7分
②共有三个时刻. …………………8分
t1= ， t2= ，t3= ． …………………11分
(2009年山西省)26．（本题14分）如图，已知直线 与直线 相交于点 分别交 轴于 两点．矩形 的顶点 分别在直线 上，顶点 都在 轴上，且点 与点 重合．
（1）求 的面积；
（2）求矩形 的边 与 的长；
（3）若矩形 从原点出发，沿 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设
移动时间为 秒，矩形 与 重叠部分的面积为 ，求 关
的函数关系式，并写出相应的 的取值范围．
26．（1）解：由 得 点坐标为
由 得 点坐标为
∴ （2分）
由 解得 ∴ 点的坐标为 （3分）
∴ （4分）
（2）解：∵点 在 上且
∴ 点坐标为 （5分）
又∵点 在 上且
∴ 点坐标为 （6分）
∴ （7分）
（3）解法一： 当 时，如图1，矩形 与 重叠部分为五边形 （ 时，为四边形 ）．过 作 于 ，则
∴ 即 ∴
∴
即 （10分）
（2009年山西省太原市）29．（本小题满分12分）
问题解决
如图（1），将正方形纸片 折叠，使点 落在 边上一点 （不与点 ， 重合），压平后得到折痕 ．当 时，求 的值．
类比归纳
在图（1）中，若 则 的值等于 ；若 则 的值等于 ；若 （ 为整数），则 的值等于 ．（用含 的式子表示）
联系拓广
如图（2），将矩形纸片 折叠，使点 落在 边上一点 （不与点 重合），压平后得到折痕 设 则 的值等于 ．（用含 的式子表示）
29．问题解决
解：方法一：如图（1-1），连接 ．
由题设，得四边形 和四边形 关于直线 对称．
∴ 垂直平分 ．∴ 1分
∵四边形 是正方形，∴
∵ 设 则
在 中， ．
∴ 解得 ，即 3分
在 和在 中，
，
，
5分
设 则 ∴
解得 即 6分
∴ 7分
方法二：同方法一， 3分
如图（1－2），过点 做 交 于点 ，连接
∵ ∴四边形 是平行四边形．
∴
同理，四边形 也是平行四边形．∴
∵
在 与 中
∴ 5分
∵ 6分
∴ 7分
类比归纳
（或 ）； ； 10分
联系拓广
12分
评分说明：1．如你的正确解法与上述提供的参考答案不同时，可参照评分说明进行估分．
2．如解答题由多个问题组成，前一问题解答有误或未答，对后面问题的解答没有影响，可依据参考答案及评分说明进行估分．
（2009年安徽省）23．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．
（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．
【解】
（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的
函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什
么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．
【解】
（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函
数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，
且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，
使得当日获得的利润最大．
【解】
23．（1）解：图①表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果，
可按5元/kg批发；……3分
图②表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发．
………………………………………………………………3分
（2）解：由题意得： ，函数图象如图所示．
………………………………………………………………7分
由图可知资金金额满足240＜w≤300时，以同样的资金可
批发到较多数量的该种水果．……………………………8分
（3）解法一：
设当日零售价为x元，由图可得日最高销量
当m＞60时，x＜6.5
由题意，销售利润为
………………………………12分
当x＝6时， ，此时m＝80
即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，
当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分
解法二：
设日最高销售量为xkg（x＞60）
则由图②日零售价p满足： ，于是
销售利润 ………………………12分
当x＝80时， ，此时p＝6
即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，
当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分
（2009年江西省）25．如图1，在等腰梯形 中， ， 是 的中点，过点 作 交 于点 ． ， .
（1）求点 到 的距离；
（2）点 为线段 上的一个动点，过 作 交 于点 ，过 作 交折线 于点 ，连结 ，设 .
①当点 在线段 上时（如图2）， 的形状是否发生改变？若不变，求出 的周长；若改变，请说明理由；
②当点 在线段 上时（如图3），是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 的值；若不存在，请说明理由.
25．（1）如图1，过点 作 于点 1分
∵ 为 的中点，
∴
在 中， ∴ 2分
∴
即点 到 的距离为 3分
（2）①当点 在线段 上运动时， 的形状不发生改变．
∵ ∴
∵ ∴ ，
同理 4分
如图2，过点 作 于 ，∵
∴
∴
∴
则
在 中，
∴ 的周长= 6分
②当点 在线段 上运动时， 的形状发生改变，但 恒为等边三角形．
当 时，如图3，作 于 ，则
类似①，
∴ 7分
∵ 是等边三角形，∴
此时， 8分
当 时，如图4，这时
此时，
当 时，如图5，
则 又
∴
因此点 与 重合， 为直角三角形．
∴
此时，
综上所述，当 或4或 时， 为等腰三角形． 10分
（2009年广东广州）25.（本小题满分14分）
如图13，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ΔABC的面积为 。
（1）求该二次函数的关系式；
（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
25.（本小题满分14分）
解：（1）OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OC×AB= ,得AB= ，
设A（a,0）,B(b,0)AB=ba= = ，解得p= ,但p<0,所以p= 。
所以解析式为：
（2）令y=0，解方程得 ，得 ,所以A( ,0),B(2,0),在直角三角形AOC
中可求得AC= ,同样可求得BC= ,，显然AC2+BC2=AB2,得三角形ABC是直角三角形。AB
为斜边，所以外接圆的直径为AB= ,所以 .
（3）存在，AC⊥BC,①若以AC为底边，则BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设BD的解析式
为y=-2x+b，把B(2,0)代入得BD解析式为y=-2x+4，解方程组 得D（ ,9）
②若以BC为底边，则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1,可设AD的解析式为y=0.5x+b，把
A( ,0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25，解方程组 得D( )
综上，所以存在两点：（ ,9）或( )。
（2009年广东省中山市）22. （本题满分9分）正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直.
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；
（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值.
（2009 年哈尔滨市）28．(本题10分）
如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），
点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
（1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
(2009山东省泰安市)26（本小题满分10分）
如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD‖BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。
（1） 求证：BE=AD；
（2） 求证：AC是线段ED的垂直平分线；
（3） △DBC是等腰三角形吗？并说明理由。
26、（本小题满分10分）
证明：（1）∵∠ABC=90°，BD⊥EC，
∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，
∴∠1=∠2…………………………………………………1分
∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=AC
∴△BAD≌△CBE…………………………………………2分
∴AD=BE……………………………………………………3分
（2）∵E是AB中点，
∴EB=EA
由（1）AD=BE得：AE=AD……………………………5分
∵AD‖BC
∴∠7=∠ACB=45°
∵∠6=45°
∴∠6=∠7
由等腰三角形的性质，得：EM=MD，AM⊥DE。
即，AC是线段ED的垂直平分线。……………………7分
（3）△DBC是等腰三角（CD=BD）……………………8分
理由如下：
由（2）得：CD=CE
由（1）得：CE=BD
∴CD=BD
∴△DBC是等腰三角形。……………………………10分
（2009年威海市）25．（12分）
一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 ，与反比例函数 的图象相交于点 ．过点 分别作 轴， 轴，垂足分别为 ；过点 分别作 轴， 轴，垂足分别为 与 交于点 ，连接 ．
（1）若点 在反比例函数 的图象的同一分支上，如图1，试证明：
① ；
② ．
（2）若点 分别在反比例函数 的图象的不同分支上，如图2，则 与 还相等吗？试证明你的结论．
25．（本小题满分12分）
解：（1）① 轴， 轴，
四边形 为矩形．
轴， 轴，
四边形 为矩形．
轴， 轴，
四边形 均为矩形． 1分
，
，
．
．
，
，
． 2分
②由（1）知 ．
．
． 4分
，
． 5分
．
． 6分
轴，
四边形 是平行四边形．
． 7分
同理 ．
． 8分
（2） 与 仍然相等． 9分
，
，
又 ，
． 10分
．
．
，
．
．
． 11分
轴，
四边形 是平行四边形．
．
同理 ．
． 12分
（2009年烟台市）26．(本题满分14分)
如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于C点，且经过点 ，对称轴是直线 ，顶点是 ．
（1） 求抛物线对应的函数表达式；
（2） 经过 两点作直线与 轴交于点 ，在抛物线上是否存在这样的点 ，使以点 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 设直线 与y轴的交点是 ，在线段 上任取一点 （不与 重合），经过 三点的圆交直线 于点 ，试判断 的形状，并说明理由；
（4） 当 是直线 上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．
26．（本题满分14分）
解：（1）根据题意，得 2分
解得
抛物线对应的函数表达式为 ． 3分
（2）存在．
在 中，令 ，得 ．
令 ，得 ， ．
， ， ．
又 ， 顶点 ． 5分
容易求得直线 的表达式是 ．
在 中，令 ，得 ．
， ． 6分
在 中，令 ，得 ．
．
， 四边形 为平行四边形，此时 ． 8分
（3） 是等腰直角三角形．
理由：在 中，令 ，得 ，令 ，得 ．
直线 与坐标轴的交点是 ， ．
， ． 9分
又 点 ， ． ． 10分
由图知 ， ． 11分
，且 ． 是等腰直角三角形． 12分
（4）当点 是直线 上任意一点时，（3）中的结论成立． 14分
（2009年山东省日照）24． (本题满分10分)
已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
参考资料：www.12999.com/page/09-07-04/35772.html