n维线性空间上任意一线性变换的特征向量可以构成一组基答:基本思想是先证明W至少包含q的一个特征向量,然后做补空间并归纳即可.先自己想,中间遇到困难了再看下面的提示.设x_i,i=1,2,...,k是W的一组基,则存在数域P上的k阶矩阵B使得qX=XB,X=(x_1,...,x_k).由代数基本定理,B至少有一个复特征对By=cy,这样q(Xy)=c(Xy),c也是q的特征值,故...
若复矩阵A与B可交换,即AB=BA,证明:A,B至少有一公共的特征向量答:首先不妨把语言转化为线性变换: 取定一组基, 以A, B为矩阵的线性变换仍记为A, B.在复数域上, 特征多项式一定有解, 而每一特征值都有相应的特征向量.任取A的一个特征值λ, 考虑A的属于λ的特征子空间W(即AX = λX的解空间, 可知W ≠ 0).对任意X∈W, 有A(BX) = B(AX) = λBX,...