已知函数f(x)=-x^2+2x,x<=0,f(x)=ln(x+1),x>0,若f(x)的绝对值>=ax,求a取值范围

Question

f(x)为分段函数

Answer 1

易知|f(x)|={(x-1)^2-1 (x<=0),In(x+1) (x>0)}
x<=0时，f(x)=(x-1)^2-1
此时函数图像从左至右是递减的，最低点为(0,0)
x>0时，f(x)=ln(x+1)
此时函数图像从左至右是递增的，最低点为(0,0)
要想满足|f(x)|>=ax恒成立，则g(x)=ax图像始终在|f(x)|图像下方（交点(0,0)除外）
若a<0,f(x)在y轴左边的斜率的绝对值是递减的，(0,0)处最小，
为f'(0)=2。则a>=-2
若a>0,f(x)在y轴右边的斜率是递减的，f'(x)=1/(1+x)
f'(x)趋近于0，此时a<=1/(1+x)在x>0无法恒成立
故综上所述，a的取值范围是[-2,0]