线性代数问题求解

Question

(a) 用定义证明 {1, x, x^2, x^3} 是 P3(x) = {a3 x^3 + a2 x^2 + a1 x + a0 : a3; a2; a1; a0 ∈ R} 的基(基底)

(b) 用R4的向量坐标来证明这个基 {-x^2- 2x + 1; -3x^3 - 2x^2 - 3x + 4; -6x^3 - x^2 + 5;
4x^3 + 3^x2 + 3x - 9} 是P3的基

(c) W = {p(x) ∈P3(x) : p(1) = 0} 是P3的子空间吗? 为什么

Answer 1

（a)显然，1, x, x^2, x^3是线性无关的，P3(x)的元素可用它们线性表示，
∴{1, x, x^2, x^3} 是 P3(x)的基底。
（b)计算系数行列式
0 -1 -2 1
-3 -2 -3 4
-6 -1 0 5
4 3 3 -9，把第四列的1,2倍加到第二、三列，再按第一行展开，得-1*
-3 2 5
-6 4 10
4 -6 -15，第一、二行对应元素成比例，
∴行列式=0，
∴{-x^2- 2x + 1; -3x^3 - 2x^2 - 3x + 4; -6x^3 - x^2 + 5;4x^3 + 3^x2 + 3x - 9线性相关，不是基.
请检查题目.