只要说明上述每个初等变换都是可逆变换就可以了。
分情况讨论: 方程组(I) 经过一次初等变换化成方程组(II)后,两个方程组同解。
1.交换两个方程的位置后得(II)。
那么方程组(II)再交换这两个方程就得到方程组(I)。
2.用一个不等于零的数k乘某一方程得方程组(II)。
那么(II)中这个方程乘以(1/k), 就得到了方程组(I)。
3.用一个数k乘某一个方程后加到另一个方程得方程组(II)。
那么在(II)中用这个方程乘以 -k 加到另一个方程 仍得到方程组(I)。
所以, 线性方程组的初等变换都是可逆变换, 故得到的方程组是同解方程组。
解法
①克莱姆法则，用克莱姆法则求解方程组 有两个前提，一是方程的个数要等于未知量的个数，二是系数矩阵的行列式要不等于零。用克莱姆法则求解方程组实际上相当于用逆矩阵的方法求解线性方程组。
它建立线性方程组的解与其系数和常数间的关系，但由于求解时要计算n+1个n阶行列式，其工作量常常很大，所以克莱姆法则常用于理论证明，很少用于具体求解。
②矩阵消元法，将线性方程组的增广矩阵通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵 ，则以行简化阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。
当方程组有解时，将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。