两个属于不同特征值的特征子空间的交是否仍为特征子空间

Question

如题所述

Answer 1

很显然楼上说的…………胡扯
在线性代数里，两个属于不同特征值的特征子空间的交就是零向量。
证明如下：
太显然了，
假设向量x同时属于特征值a和特征值b的特征子空间，则有
Ax=ax
Ax=bx，
则有：
ax=bx,
则(a-b)x=0,
要么a=b，又因为a，b是两个不同特征值，所以只能逼迫x=0
所以同时属于两个特征值的特征子空间的向量只能是零向量。
不仅如此，甚至属于两个不同特征值的不变子空间的交也只是零向量。
顺便再说一句，零向量属于任何一个特征子空间，零向量单独构成的空间是零空间。
零空间不能单独构成特征子空间，理由如下（这个理由不怎么好，没有本质上解释原因）：
假设零空间是某个特征值a的特征子空间，
则有：
Ax=ax ---> (A-a)x=0 由于只有x=0是他的解，所以A-a有唯一解，所以A-a的行列式大于0.
所以令 |A-a|=0求特征值最终化简时大概会得到类似于 1=0的结果，你不可能找到这样的特征值，所以零空间不是任何特征值（包括0）的特征子空间。
所以综上所述：
两个属于不同特征值的特征子空间的交不是特征子空间。
最后再说一句。楼上简直的胡扯，不懂别祸害人。