函数可导的定义是什么？举个例子。

Question

如题所述

Answer 1

函数可导的条件是函数在某一点处的导数存在。一般来说，函数在某一点可导的条件包括以下两个方面：

1. 函数在该点处存在极限：
函数在该点的左极限和右极限存在，并且相等。也就是说，函数在该点处的极限存在。

2. 导数存在：
函数在该点处的左导数和右导数存在，并且相等。也就是说，函数在该点处的导数存在。

综合来说，函数在某一点可导的条件是函数在该点处的极限存在且导数存在。

需要注意的是，函数在某一点可导并不意味着函数在该点处连续，因为函数连续的条件更为宽松。函数可导的条件更加严格，需要函数在该点处的极限和导数都存在。

Answer 2

在实数域上，函数 f(x) 在某个点 x0 处可导的定义是：
如果极限 lim(x→x0) [f(x) - f(x0)] / (x - x0) 存在，则函数 f(x) 在点 x0 处可导。
换句话说，如果函数在某个点处的变化率（斜率）在该点存在有限的极限，那么该点就是可导的。这个斜率也被称为函数在该点的导数。
例子：
考虑函数 f(x) = 2x + 1。我们来判断函数在 x = 3 处是否可导。
首先，我们计算函数在 x = 3 处的导数：
f'(x) = d/dx [2x + 1] = 2
然后，我们计算极限 lim(x→3) [f(x) - f(3)] / (x - 3)：
lim(x→3) [2x + 1 - (2*3 + 1)] / (x - 3) = lim(x→3) (2x - 5) / (x - 3)
现在我们可以直接代入 x = 3：
lim(x→3) (2x - 5) / (x - 3) = lim(x→3) (2*3 - 5) / (3 - 3) = 1
由于该极限存在有限值，函数在 x = 3 处可导，并且导数为 f'(3) = 2。
所以，函数 f(x) = 2x + 1 在 x = 3 处可导，其导数为 2本回答被网友采纳