x²-4在x趋于2的去心邻域可导吗？

Question

如题所述

Answer 1

要判断函数在某个点的可导性，需要满足以下条件：
1. 函数在该点附近有定义；
2. 函数在该点近存在有限的导数。

对于$f(x)=x^2-4$，我们来看它$x=2$的去心邻域是否满足上述条件。

首先确定去心邻域，假设$x$的取值范围为$(2-\epsilon,2+\epsilon)$，其中$\epsilon$为一个正数，且$\epsilon\neq 0$，表示去心邻域的大小。

在$x=2$附近，函数$f(x)=x^2-4$有定义，没有任何间断点或断点。

接下来我们计算$x=2$的导数：
$f'(x) = \frac{d}{dx} (x^2-4) = 2x$

当$x$趋于2时，$2x$趋于4。
既然导数存在且为常数4，函数在$x=2$的去心邻域是可导的。

因此，函数$f(x)=x^2-4$在$x$趋于2的去心邻域内是可导的。

Answer 2

要判断函数 f(x) = x² - 4 在 x 趋于 2 的去心邻域是否可导，我们需要首先确定在 x = 2 处是否存在极限。
计算 x² - 4 在 x 趋于 2 时的极限：
lim (x -> 2) (x² - 4)
当 x 首先，我们计算函数在 x = 2 处的左导数和右导数：
左导数：
f'(2-) = lim (h -> 0) [f(2 - h) - f(2)] / h
= lim (h -> 0) [(2 - h)² - 4 - (2² - 4)] / h
= lim (h -> 0) [4 - 4h + h² - 4] / h
= lim (h -> 0) (h² - 4h) / h
= lim (h -> 0) (h - 4)
= -4
右导数：
f'(2+) = lim (h -> 0) [f(2 + h) - f(2)] / h
= lim (h -> 0) [(2 + h)² - 4 - (2² - 4)] / h
= lim (h -> 0) [4 + 4h + h² - 4] / h
= lim (h -> 0) (h² + 4h) / h
= lim (h -> 0) (h + 4)
= 4
由于左导数和右导数不相等，导致函数在 x = 2 处的导数不存在。因此，我们可以得出结论：函数 f(x) = x² - 4 在 x 趋于 2 的去心邻域内是不可导的。