怎么判断函数的凹凸性呢？

Question

如题所述

Answer 1

凹凸性判定记忆口诀为看导数，代数上，函数一阶导数为负，二阶导数为正（或者一阶正，二阶负），便是凸的，一阶与二阶同号为凹。函数在凹凸性发生改变的点称为拐点，拐点的二阶导数为0或不存在二阶导数。

定义：

设函数f(x)在区间I上有定义，若对I中的任意两点x₁和x₂，和任意λ∈(0,1)，都有：f(λx₁+(1-λ)x₂)>=λf(x₁)+(1-λ)f(x₂)，则称f为I上的凸函数，若不等号严格成立，即“>”号成立，则称f(x)在I上是严格凸函数。同理，如果>=换成<=就是凹函数，类似也有严格凹函数。

几何定义：

在函数f（x）的图像上取任意两点，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。直观上看，凸函数就是图像向上凸出来的。

比如如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f(x)>=0;f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f(x)<=0:[1-2]。

凸函数的性质和函数凹凸性的应用：

一、凸函数的性质：

设为定义在凸集上的凸函数，则对任意实数，函数也是定义在凸集上的凸函数。设和都是定义在凸集上的凸函数，则函数也是定义在凸集上的凸函数。

设为定义在凸集上的凸函数，则对任意实数，集合是凸集。设为定义在凸集上的凸函数，则的任一个极小点就是它在上的全局极小点，而且所有极小点的集合是凸集。

二、函数凹凸性的应用：

函数凹凸性证明不等式和比较大小，有些不等式虽然看起来简单，但通过常规的证明方法和技巧很难奏效，这就需要我们另辟蹊径.应用凸函数的性质不但可以少走弯路，使解题更加合理，而且借助于几何特征可以使解题思路更加清晰直观。