设二维随机变量（X，Y）服从区域D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤2}上的均匀分布，令Z=mi

Question

设二维随机变量（X，Y）服从区域D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤2}上的均匀分布，令Z=min（X，Y），求E（Z）和D（Z）。

Answer 1

1
(X,Y)的联合概率密度为
f(x,y)=1/2,0<=x<=2,0<=y<=1
0,其他

P(X<=Y)=∫∫X<=Y f(x,y)dxdy=(1/2)∫∫dxdy=(1/2)(矩形G中满足X<=Y的面积)=1/4
P(x>Y)=∫∫X>Y f(x,y)dxdy=1/2(矩形G中满足X>Y的面积)=3/4
同理
P(X<=2Y)=1/2
P(X>2Y)=1/2

所以联合分布为
P(u=0,V=0)=P(X<=Y)*P(X<=2Y)=1/8
P(u=0,V=1)=P(X<=Y)*P(X>2Y)=1/8
P(u=1,V=0)=P(x>Y)*P(X<=2Y)=3/8
P(u=1,V=1)=P(x>Y)*P(X>2Y)=3/8