设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)=2x-x 2 ，(1)求证：

Question

设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)=2x-x 2 ，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 012)．

Answer 1

解：(1)∵f(x+2)=-f(x)， ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x)， ∴f(x)是周期为4的周期函数． (2)当x∈[-2，0]时，-x∈[0，2]， 由已知得f(-x)=2(-x)-(-x) 2 =-2x-x 2 ， 又f(x)是奇函数， ∴f(-x)=-f(x)=-2x-x 2 ， ∴f(x)=x 2 +2x， 又当x∈[2，4]时，x-4∈[-2，0]， ∴f(x-4)=(x-4) 2 +2(x-4)， 又f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(x)=f(x-4) =(x-4) 2 +2(x-4) =x 2 -6x+8， 从而求得x∈[2，4]时，f(x)=x 2 -6x+8； (3)f(0)=0，f(2)=0，f(1)=1，f(3)=-1， 又f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)+f(2 012)=0， ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 012)=0。