设函数f(x)在(-r,r)上有n阶可导,且limx→0f(n)(x)=l,则f(n)(x）在x 0点连续,

Question

证明题
证明：设函数f(x)在(-r,r)上有n阶可导,且limx→0f(n)(x)=l,则f(n)(x）在x=0点连续。

Answer 1

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追问

请用严格的极限定义书写一下

请用严格的极限定义书写一下

Answer 2

∵f（x）在点x=0的某一邻域内具有二阶连续导数，即f（x），f'（x），f''（x）在x=0的某一邻域均连续且：lim x→0 f(x) x ＝0 ∴f（x）=f（0）=0 lim x→0 f(x)?f(0) x ＝0 ∴f’（0）=0 ∴lim x→0 f(x) x2 ＝lim x→0 f’(x) 2x ＝lim x→0 f’(x)?f’(0) 2x ＝1 2 f’’(0) ∴lim n→∞ |f(1 n ) (1 n )2 |是一常数 ∴由比值判别法可知原级数绝对收敛