已知如图,抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),且经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点B、C.

Question

已知如图，抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），且经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标；
（3）若点M在第四象限内的抛物线上，且OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标．

Answer 1

求出直线 y=x-3 与坐标轴的两个交点：B（3，0），C（0，-3）
将 A、B、C 三点的坐标代入抛物线 y=ax²+bx+c
a-b+c=0，9a+3b+c=0，c=-3
联立解得 a=1，b=-2，c=-3，抛物线解析式为 y=x²-2x-3
y=(x-1)²-4，顶点是（1，-4）
直线OM⊥BC，Rt△BOC中OB=OC=3，故OD是等腰直角三角形斜边BC的中垂线，D点坐标是（1.5，-1.5），直线OM的解析式是y=-x
代入抛物线解析式 -x=x²-2x-3 得 x=(1±√13)/2
第四象限内点M的坐标是 x=(1+√13)/2，y=-(1+√13)/2

Answer 2

（1）易知：B（3，0），C（0，-3），
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），则
a（0+1）（0-3）=-3，a=1，
∴y=x2-2x-3．
(2) 由（1）知：y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
因此顶点坐标为（1，-4）．
（3）由于直线OD⊥BC，
因此直线OD的解析式为y=-x，
联立抛物线则有：
y=x2-2x-3y=-x
解得
x=(1+√ 13)/2
y=(-1-√ 13)/2
x2=(1-√ 13)/2

y2=(√ 13-1)/2

由于点M在第四象限，因此M（(1+√ 13)/2,(-1-√ 13)/2)