设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn

Question

（1）若首项a1=3/2，d=1，求满足S(k^2)=(Sk)^2的正整数k
（2）求所有无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有S(k^2)=(Sk)^2

Answer 1

(1)由已知可得a(n)=n+1/2, 所以S(n)=n(n+2)/2. 由S(k^2)=(S(k))^2, 可得k(k-4)=0, 所以满足条件的正整数k=4.

(2)设d为等差数列{an}公差，则S(n)=n[2a(1)+(n-1)d]/2, 所以由S(k^2)=(S(k))^2可得
2[2a(1)+(k^2-1)d] = [2a(1)+(k-1)d]^2, (#)
因为(#)式对所有正整数k成立，取k=1, 可得4a(1)[1-a(1)]=0, 所以a(1)=0, 或1.
当a(1)=0时，代入(#)式可得2(k^2 - 1)d=(k-1)^2 * d^2, 因为这对所有正整数k都成立，所以d=0.
当a(1)=1时，代入(#)式并化简可得d(d-2)(k-1)(k-1)=0, 所以d=0, 或2.
所以满足条件的等差数列有三种：a(n)=0; a(n)=1; a(n)=2n-1.追问

。。。。。

追答

S(k^2)=k^2 * [2a(1)+(k^2-1)d]/2
(S(k))^2= k^2 * [2a(1)+(k-1)d]^2 /4,
由S(k^2)=(S(k))^2, 约去k^2便可得到2[2a(1)+(k^2-1)d] = [2a(1)+(k-1)d]^2.