全微分充要条件讨论

Question

全微分充要条件讨论画浪线部分，全增量与全微分的差是高阶的无穷小，但为什么是这个表现形式？

Answer 1

先算这个函数在点(0,0)处的全增量
△z=f(0+△x,0+△y)-f(0,0)
=f(△x,△y)-0
△x,△y不同时为0，就带入第一个表达式中得:
△z=△x△y/√△x²+△y²
全微分就不用说了，在点(0,0)处的两个偏导数都为0，那么自然全微分dz=A△x+B△y=0
相减就是△x△y/√△x²+△y²，至于他是不是√△x²+△y²的高阶无穷小那就另外说了，是的话dz就是全微分，不是的话dz就不是全微分。