设W是V上的线性变换σ的不变子空间，证明，W在σ下的像σ(W)，以及W在σ下的原像σ－¹

Question

设W是V上的线性变换σ的不变子空间，证明，W在σ下的像σ(W)，以及W在σ下的原像σ－¹(W)，都是σ的不变子空间，其中σ－¹(W)＝｛a∈W|σ(a)∈W｝

Answer 1

因为σW⊆W，所以σ(σW)⊆σW，故σW是σ-子空间。
对α∈σ^(-1)W，则σα∈W，而W是σ-子空间，所以σ(σα)∈W，从而σα∈σ^(-1)W。