求高数拉格朗日中值定理证明题

Question

如题所述

Answer 1

　　证明：设辅助函数f(t)=ln(1+t)，则函数f(t)在(-1,+∞)上可导，对任意x>0，f(t)在[0,x]上连续，在(0,x)内可导，满足拉格朗日定理条件，则至少存在一点ξ∈(0,x)，使f(x)-f(0)=f'(ξ)(x-0)成立。
　　而f(0)=0，f'(ξ)=1/(1+ξ)，∴f(x)=x/(1+ξ)。
　　当x>0时，x/(1+x)<x/(1+ξ)<x，即x/(1+x)<ln(1+x)<x。供参考。