必要性:设AX=b 有解X=(x1,……xn)'
即 a11x1+……+a1nxn=b1……(1)
…………………………
an1x1+……+annxn=bn……(n)
设Y=(y1,……yn)'是A'Y=0的解。则:
a11y1+……+an1yn=0……[1]
…………………………
a1ny1+……+annyn=0……[n]
x1×[1]+x2[2]+……+xn[n] (注意(1)……(n))
即得 b1y1+……+bnyn=0,
Y也是b'Y=0的解。
充分性:A'Y=0的解是b'Y=0的解(▲),看两个方程组:
A'Y=0①
┏A'┓
┗b'┛Y=0②
②的解显然是①的解,从(▲),①的解也是②的解,∴①,②是同解方程组,
A'的秩=
┏A'┓
┗b'┛的秩。转置后:A的秩=(A b)的秩. AX=b有解。
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