求解线性代数证明题

Question

如题所述

Answer 1

必要性：设AX＝b 有解X＝（x1,……xn）'
即 a11x1+……+a1nxn＝b1……（1）
…………………………
an1x1+……+annxn＝bn……（n）
设Y＝（y1,……yn）'是A'Y＝0的解。则：
a11y1+……+an1yn＝0……[1]
…………………………
a1ny1+……+annyn＝0……[n]
x1×[1]+x2[2]+……+xn[n] （注意（1）……（n））
即得 b1y1+……+bnyn＝0,
Y也是b'Y＝0的解。
充分性：A'Y＝0的解是b'Y＝0的解（▲），看两个方程组：
A'Y＝0①
┏A'┓
┗b'┛Y＝0②
②的解显然是①的解，从（▲），①的解也是②的解，∴①，②是同解方程组，
A'的秩＝
┏A'┓
┗b'┛的秩。转置后：A的秩＝（A b）的秩. AX＝b有解。