一个矩阵有几个特征值?

Question

如题所述

Answer 1

矩阵特征值的个数等于其阶数，因此有4个特征值。

又有P-1AP=∧ ，A与∧具有相同的秩，其中∧=diag（λ1，λ2，λ3，λ4）。

R（A）=1，所以R（∧）=1 ，可以判断矩阵A有3个为零的重根。

∑λi=∑aii ，a11+a22+a33+a44=30,所以得到λ1=30。

设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。

扩展资料：

¦(λ)=|λE-A|=λ+a1λ+…+an= 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。特征方程¦(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ0)称为A的特征根(或特征值)。n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。

以A的特征值λ0代入(λE-A)X=θ，得方程组(λ0E-A)X=θ，是一个齐次方程组，称为A的关于λ0的特征方程组。因为|λ0E-A|=0，(λ0E-A)X=θ必存在非零解

，

称为A的属于λ0的特征向量。所有λ0的特征向量全体构成了λ0的特征向量空间。

矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 ，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。