求函数连续性，可导性

Question

f(x)=x^2*sin(1/x), x≠0
=0 , x=0
在x=0处，
求函数连续性，可导性
要过程哦！！
但是我利用了x→0时，sinx/x=1这个重要极限去算，就是分母多设一个x/x,把sin(1/x)去掉了，最后得出的是1。是不是我这个算法有问题呢？
求导，最后得数是什么才能证明函数可导呢？

Answer 1

连续性：只要求当x趋近于0时的值与f(0)的值是否一致即可。
limf(x)=lim(x^2*sin(1/x))=0 (这步是利用有界函数与无穷小的乘积为无穷小)
而f(0)=0
则函数在0处连续。
可导性：要证明可导则要知道在0处的左右导数是否相等,或者在该点处是否可导
求导数可以用定义法
f'(0)=lim((f(x)-f(0))/x)=lim((x^2*sin(1/x))/x)=lim(x*sin(1/x))=0 可知f(x)在x=0处有导数且导数存在。则在x=0处可导追问

但是我利用了x→0时，sinx/x=1这个重要极限去算，就是分母多设一个x/x,把sin(1/x)去掉了，最后得出的是1。是不是我这个算法有问题呢？
求导，最后得数是什么才能证明函数可导呢？

追答

最后得数是什么才能证明函数可导？只要在那个点左右导数都存在且相等，就说明可导了，你把导数的定义好好看看。
利用了x→0时，sinx/x=1这个重要极限去算，就是分母多设一个x/x,把sin(1/x)去掉了，最后得出的是1。你这个具体步骤是什么我才能知道你具体错在哪儿。

Answer 2

他们一个共同的问题是只逼近了一次·要分别从正无穷到0和负无穷到0做两次求极限而且都等于f（0）才证明它的连续行，这样才完整、

可导性是连续性的情况下在x=0点的地方有且只有一个斜率值就可导了。那么同样的想把f（x）求 一介导 在从两个无穷逼近0看这两个值是否相等就可以了

Answer 3

你不能去掉sin，不能把他换成x。
sin是有界函数，x趋近于零所以0乘以有界函数得零

Answer 4

因为敲上去的看起来不方便，建议先翻译成数学符号再钻研，后面附上了这道题所涉及的知识点。
1、当x趋近0时f(x)的极限=当x^2*sin(1/x)的极限=0=f(0),所以，函数在x=0处连续；
2、f(0)的导数=当x趋近0时（f(x)-f(0))/(x-0)时的极限=当x趋近0时(x^2*sin(1/x))/x=当x趋近0时x*sin(1/x)时的极限=0，所以，函数在x=0处可导。
知识点总结：1、求函数的连续性方法，即要看当x趋近于0时函数的极限与x=0处的函数值是否相等，若相等，则函数连续；
2、求函数的可导性方法，即要看f(0)的导数是否能求出来，若能求出来，则函数可导。
非常希望能够帮到你，呵呵。追问

但是我利用了x→0时，sinx/x=1这个重要极限去算，就是分母多设一个x/x,把sin(1/x)去掉了，最后得出的是1。是不是我这个算法有问题呢？
求导，最后得数是什么才能证明函数可导呢？