请计算 1. “1的1次方+2的2次方+3的3次方+4的4次方.......+2005的2005次的和除以10，余数是多少？”（详解

Question

2. 253的10次方×168的5次方的末两位数是多少？（详解）

Answer 1

此式相当于求和的个位数是多少。
1^1个位为1 ，1^n且每个均相同。
2^2个位为4，且每4个循环一次，即2^5的个位与2^1的个位相同。
3^3个位为7，且每4个循环一次。
4^4个位为6，且每2个循环一次，即4^1的个位与4^3的个位相同。
5^5个位为5，且每个均相同，即5^n的个位均为5
6^6个位为6，且每个均相同，即6^n的个位均为6
7^7个位为3，且每4个循环一次。
8^8个位为6，且每4个循环一次。
9^9个位为9，且每2个循环一次。
可知，对任意正整数，要么每隔十个数字个位均相同，即个位每个均相同可每2个循环的。
比如，1^1的个位同于11^11，4^4个位同于14^14。
要么每隔20个数字个位相同，即每4个循环一次。
比如，2^2与22^22的个位相同，12^12与32^32的个位相同，8^8与28^28的个位相同，等。
当然10任何正整数次方个位是零。
由于2000/20=100，所以，1^1~2000^2000的个位数之和相当于，
1^1~20^20的个位数之和的100倍，
且每过20次方个位数相同，所以
1的1次方+2的2次方+3的3次方+4的4次方.......+2005的2005次的和的个位
=1^1+2^2+3^3+4^4+5^5的个位
=1+4+7+6+5=3
所以余数为3

2,用|| ||表示取末两位，比如||506||=6，||503^4||=||3^4||=81
||253^10×168^5||
=||253^10×（21×8）^5||
=||(253×2)^10×2^5×21^5||
=||506^10×2^5×21^5||
=||6^10×2^5×1||
=||6×216^3×2^5||
=||6×16^3×16×2||
=||6×56^2×2||
=||3×12^2||
=32

Answer 2

第一题。

因为除十余，所以只看个位。
个位出现次数1,2,3,4,5出现201次。6,7,8,9,0出现200次。
1的一次幂个位1；2 ~4；3~7；4~6；5~5
再算个位。1+4+7+6+5 mod 10
结果 3

我的算法比较笨
253的10次幂*（4*42）的5次幂 = 253的10次幂*2的10次幂*42的5次幂=
506的10次幂*42的5次
只算十位和个位
即：6的10次幂*42的5次幂 = 36的5次*42的5次=1512的5次幂
还是只算十位和个位。
12的5次幂 mod 100
结果为 32

Answer 3

3