什么是凹函数，怎么判别？

Question

如题所述

Answer 1

二阶导大于零为凹。二阶导数反映的是斜率变化的快慢，表现在函数的图像上就是函数的凹凸性。

二阶导数大于0，说明该函数的一阶导数是单增函数。也就是说，该函数在各点的切线斜率随着x的增大而增大。因此，该函数图形是凹的。二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。

一般情况，函数y=f（x）的导数y‘=f’x）仍然是x的函数，则y’=f’（x）的导数叫做函数y=f（x）的二阶导数。在图形上，它主要表现函数的凹凸性，切线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率，函数的凹凸性（例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧）。

函数凹凸性，设f(x)在[a，b]上连续，在（a，b)内具有一阶和二阶导数，那么：

1、若在（a，b)内f''(x)>0，则f(x)在[a，b]上的图形是凹的；

2、若在（a，b)内f''(x)<0，则f(x)在[a，b]上的图形是凸的。

扩展资料：

1、如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么对于区间I上的任意x，y，总有：f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果总有f''(x)<0成立，那么上式的不等号反向。

几何的直观解释：如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

2、判断函数极大值以及极小值

结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为极大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。

参考资料来源：百度百科-二阶导数

Answer 2

设f（x）在区间D上连续，如果对D上任意两点a、b恒有f（（a+b）/2）<（f（a）+f（b））/2，那么称f（x）在D上的图形是（向上）凹的（或凹弧）。如果恒有f（（a+b）/2）>（f（a）+f（b））/2，那么称f（x）在D上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。
求凹凸性与拐点的步骤：
1、求定义域。
2、求f（x）的二阶导（要写成乘积的形式）。
3、求f（x）的二阶导等于0的点和f（x）的二阶导不存在的点。
4、用上述点将定义域分成若干小区间，看每个小区间上f（x）的二阶导的符号，来判断他的凹凸性（大于零是凹函数，小于零是凸函数）。
5、若f（x）的二阶导在点x的两侧异号，则（x，f（x））是拐点，否则不是（也就是导图里提到的拐点的第一充分条件）。