求下列线性空间的维数和一组基

Question

1.复数域C对通常数的加法和乘法构成实数域C上的线性空间。
2.复数域C对通常数的加法和乘法构成实数域R上的线性空间。
3.C^n作为R上的线性空间。

Answer 1

1.复数域C对通常数的加法和乘法构成实数域C上的线性空间是1维的，其中一组基为：1
这是因为对任意复数z，都有z=z*1

2.复数域C对通常数的加法和乘法构成实数域R上的线性空间。
因为对任意复数z，都存在唯一一对实数a，b使得z=a+bi，
所以复数域C对通常数的加法和乘法构成实数域C上的线性空间是2维的，其中一组基为1，i。

3.C^n作为R上的线性空间。
因为C^n中的任意向量z=（z1，z2,...,zn）都存在唯一一组实数
（（a1,b1）,(a2,b2),..,(an,bn)）使得
z=(a1+b1i,a2+b2i,...,an+bni)
所以C^n作为R上的线性空间是2n维的，其中一组基为：
（1,0，...，0），（i，0，...，0）
（0,1,0，...，0）， （0,i,0，...，0）
...............................
（0，...，0,1）， （0，...，0,i）