首先是复数相等的定义：如果两个复数实部和虚部分别相等，我们就说这两个复数相等。
一、数集的结构和数系的扩充：
人们通常在数集上建立两种结构：运算结构与序结构。比较大小就是研究序结构。大小作为一种关系，通常要求满足下面的两个条件：
（1）对于集合中的任意两个元a，b，下面三种关系必有一种成立且仅有一种成立：a>b，a=b，a<b；
（2）如果a>b，b>c，则a>c．
为了使序结构与运算结构谐调，大小关系还要满足下面的两个条件：
（3）如果a>b，c>0，则ac>bc；
（4）如果a>b，则a+c>b+c．
在数系的扩充过程中，如果在新的数系中定义运算关系与序关系，要使得原数系中的数仍然保持原有的运算与大小关系。
二、复数系无法定义与运算结构谐调的大小关系：
其实，在复数系内定义一种大小关系很容易。比较容易想到的一种定义方式是：对于两个复数a+bi与c+di，如果a>c，则a+bi>c+di；如果a=c，则若b>d 则a+bi>c+di．这样的定义方式很显然满足大小关系的条件（1）与（2）。但是，它不能满足条件（3）与（4）。因为，按照这样的定义方式，i>0，根据性质（3），i*i>i*0，即-1>0，这显然与其自己定义的大小关系相矛盾。也就是说，这样定义的大小关系是不能够与其运算结构相谐调的。
我们可以一般的证明在复数系内不可能定义一种大小关系与其运算结构相谐调：
如果i>0，根据性质（3），i*i>i*0，即-1>0，根据性质（4）-1+1>0+1，即0>1，因为-1>0，根据性质（3）(-1)*0>1*(-1)，即0>-1．-1>0与0>-1同时成立，显然不符合性质（1）；
如果0>i，根据性质（4），0+(-i)>i+(-i)，即-i>0，根据性质（3），0*(-i)>i*(-i)，即0>1，因为-i>0，根据性质（3），0*(-i)>1*(-i)，即0>-i．-i>0与0>-i 同时成立，显然不符合性质（1）。
由此可见，在复数集内可以定义一种大小关系，但不能定义与其运算结构相谐调的大小关系。而作为数集，如果其大小关系不能与运算谐调，就显得意义不大了。
结果虽然有些不尽人意，但事实如此，我们也只能感到遗憾了。
三、关于不等式
由于复数集不定义大小，所以在复数系内也不研究不等式的。实数系内不等式的性质也只能在实数系内应用，不能推广到复数系内。
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