线性代数题目：已知A^3＋A^2-A-2E=0，证明A-E可逆，并求出（A-E）^（-1），详细见

Question

线性代数题目：已知A^3＋A^2-A-2E=0，证明A-E可逆，并求出（A-E）^（-1），详细见下图。

Answer 1

A^3＋A^2-A-2E=0
(A-E)(A^2+3A +2E) =0
(A-E)(A+E)(A+2E)=0
A=E or -E or -2E

A-E = 0 or -2E or -3E
(A-E)^(-1) = (-3E)^(-1) or (-4E)^(-1)
=-(1/3)E or -(1/4)E追问

嗯？不对吧，把A=E代进原式答案不等于零啊

追答

A^3＋A^2-A-2E=0

A^3＋A^2-A-E=E
(A-E)(A^2+2A+E) =E
=>
(A-E)^(-1)=(A^2+2A+E)

追问

那怎么证明可逆？

追答

A^3＋A^2-A-2E=0
A^3＋A^2-A-E=E
(A-E)(A^2+2A+E) =E
ie
(A-E)(A^2+2A+E) =(A^2+2A+E)(A-E)=E
=>
(A^2+2A+E) = (A-E)^(-1)
=>
(A-E)可逆

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