勾股定理的三个证明方法

Question

如题所述

Answer 1

勾股定理的三个证明方法为面积相等法、相似三角形法和四边形法。

1、面积相等法：

以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形。则每个直角三角形的面积等于1/2ab。设AE=a,BE=b,CE=c，作DE⊥BC于E。

则△ADE 和△BCE 是两个相似的三角形，它们的面积之比为AE/EC=a/c,BC/EB=b/c。因此，两个相似三角形的面积之比为ab/(ab+bc)=(a2+b2)/c^2。所以，a^2+b^2=c^2。

2、相似三角形法：

作直角三角形ABC，以斜边c为底边，分别以直角边 a、b为高，作两个相似的三角形△ADB 和△CEB。则有AB/BD=BC/CE，即AB*CE=BC*BD。

由于BD=a,CE=b，所以 AB*b=BC*a。同理，AC*BD=AB*CE，可得 AC*a=AB*b。将上述两式相加得：AB*(a+b)=BC*(a+b)。因此，a^2+b^2=c^2。

3、四边形法：

作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c。将这四个三角形拼成一个边长为c的正方形，该正方形的面积为c^2。

同时，这四个三角形也可以拼成一个边长为a+b的矩形，该矩形的面积为(a+b)*c/2。由于这两个图形的面积相等，所以有c^2=(a+b)*c/2。解得a^2+b^2=c^2。

以上这些证明方法只是勾股定理众多证明方法中的一部分，实际上，千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要，甚至有国家总统。据说，现时世上一共有超过300个对勾股定理的证明。