设数列an的前n项和为Sn,已知Sn=2an-2的[N+1]次方求an的通项公式

Question

如题所述

Answer 1

解：
n=1时，a1=S1=2a1-2²
a1=4
n≥2时，Sn=2an -2^(n+1) S(n-1)=2a(n-1)-2ⁿ
Sn-S(n-1)=an=2an-2^(n+1)-2a(n-1)+2ⁿ=2an-2a(n-1)-2ⁿ
an-2a(n-1)=2ⁿ
等式两边同除以2ⁿ
an/2ⁿ -a(n-1)/2^(n-1)=1，为定值。
a1/2=4/2=2，数列{an/2ⁿ}是以2为首项，1为公差的等差数列。
an/2ⁿ=2+n-1=n+1
an=(n+1)2ⁿ
数列{an}的通项公式为an=(n+1)2ⁿ。

Answer 2

首先a1=S1=2a1-4
所以a1=4

an=Sn-S(n-1)=2an-2^(n+1)-2a(n-1)+2^n
那么an=2a(n-1)+2^n
以此类推an=2a(n-1)+2^n=2[2a(n-2)+2^(n-1)]+2^n=……=2(n-1)*a1+(n-1)*2^n

所以an=2^(n+1)+(n-1)*2^n =(n+1)*2^n ——n大于等于2时
由于a1=4 也符合
所以an=(n+1)*2^n

Answer 3

sn=2an-2^n+1,
(1)
s(n+1)=2a(n+1)-2^(n+1)+1
(2)
(2)-(1):
s(n+1)-sn=2a(n+1)-2^(n+1)-2an-2^n
a(n+1)=2a(n+1)-2an-2^n
a(n+1)=2an+2^n
a(n+1)/2^n=an/2^(n-1)+1
a(n+1)/2^n-an/2^(n-1)=1
∴{an/2^(n-1)}为等差数列，
公差为1
a1=2福辅弟恍郗喝甸桶鼎垃a1-2+1,
a1=2
∴an/2^(n-1)=2/1
+n-1
∴an=n*2^(n-1)