复合函数

Question

已知函数fx=x2+1,且gx=f[f(x)],G(x)=g(x)-a f(x),试问，是否存在实数a，使得G（x）在（负无穷，-1]上为减函数，并且在（-1,0）上为增函数。
推荐答案

假设存在实数a，使得G(x)在（－∞，－1 ]为减函数，在（-1，0）上为增函数.
f(x)=x²+1
g(x)=f[f(x)]=[f(x)]²+1=(x²+1)²+1=x^4+2x²+2
G(x)=g(x)-af(x)= x^4+2x²+2-a(x²+1)=x^4+(2-a)x²+2-a

函数G(x)可看作是由函数u=t²+(2-a)t+(2-a)与函数t=x²复合而成，
易知，函数t=x²在（－∞，0）上为减函数，
要使G(x)在（－∞，－1 ]为减函数，在（-1，0）上为增函数
则函数u=t²+(2-a)t+(2-a) 在（0，1）为减函数，在（1，＋∞）上为增函数
∴-(2-a)/2=1，
2-a= -2，
a=4，
故存在a=4，使得G(x)在（－∞，－1 ]为减函数，在（-1，0）上为增函数.

函数G(x)可看作是由函数u=t²+(2-a)t+(2-a)与函数t=x²复合而成，
易知，函数t=x²在（－∞，0）上为减函数，
要使G(x)在（－∞，－1 ]为减函数，在（-1，0）上为增函数
则函数u=t²+(2-a)t+(2-a) 在（0，1）为减函数，在（1，＋∞）上为增函数
怎么理解？

Answer 1

函数G(x)可看作是由函数u=t²+(2-a)t+(2-a)与函数t=x²复合而成，
易知，函数t=x²在（－∞，0）上为减函数
这两句话很明显，就是令t=x^2，然后得到u=t²+(2-a)t+(2-a)
函数t=x²在（－∞，0）上为减函数，t的值域为[0,+∞)
所以u=t²+(2-a)t+(2-a)的定义域就是[0,+∞)，
要使G(x)在（－∞，－1 ]为减函数，在（-1，0）上为增函数，
因为函数t=x²在（－∞，0）上为减函数，
所以u(t)为减函数时，G(x)为增函数，u(t)单调增时，G(x)减
又要求G(x)在（－∞，－1 ]为减函数，在（-1，0）上为增函数，
x=-1时，t=1，
所以得出函数u=t²+(2-a)t+(2-a) 在（0，1）为减函数，在（1，＋∞）上为增函数

Answer 2

复合函数的单调性：若两个函数都单调递增或都单调递减，则复合函数是增函数。相反，一个是增函数，一个是减函数，则复合函数是减函数。

t=x²在（－∞，-1）上为减函数，只要使u=t²+(2-a)t+(2-a) 在（1，＋∞）上为增函数，就有G(x)在（－∞，－1 ]为减函数。
t=x²在（-1，0）上为减函数，只要使u=t²+(2-a)t+(2-a) 在（0，1）为减函数，就有G(x)在（-1,0）上为增函数。
注意，前一个函数的值域一般是后一个函数的定义域，如不然，复合函数的定义域要取交集。

Answer 3

什么是复合函数呢