若函数y=f(x)在点x0的某邻域内有连续的三阶导数

Question

若函数y=f(x)在点x0的某邻域内有连续的三阶导数，且f(x)的一阶和二阶导数为0，三阶导数不为0，则X0为什么不是f(X)的极值点? 求解释!!!!!

Answer 1

f(x)在x0的邻域内泰勒展开，有：
y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f"(x0)(x-x0)^2/2!+f"'(x0)(x-x0)^3/3!+....
因为f'(x0)=f"(x0)=0, 所以
y=f(x0)+f"'(x0)(x-x0)^3/3!+....
当x=x0+h时，y-f(x0)≈ f"'(x0) *h^3/3!
当x=x0-h时，y-f(x0)≈-f"'(x0)* h^3/3!
因为f"'(x0)不为0，所以上述x0左右邻域内y-f(x0)的符号是相反的，所以f(x0)不可能是极值点。