fx在点x0的某一领域内有三阶连续导数,若f'x0=f''x=0,而f'''x0不等于0。

Question

问X0是否为极值点？(x0,f(x0))是否为拐点？
关键是是否为极值点，请给予详细的证明。谢谢！

Answer 1

结论如下：
Xo点不是极值点，而是拐点！
判断方式如下：
f(x)在Xo邻域内的二阶导数为：f''(xo）=lim[f'(x)-f'(xo)]/(x-xo)=lim f'(x)/(x-xo) x→xo
在xo点一阶导数为0的情况下，假如xo点的二阶导数大于0，根据极限的保号性，在xo的邻域内，肯定存在f'(x)/(x-xo) >0（当x在xo右侧，一阶导数大于0，单调递增；左侧，一阶导数小于0，单调递减），显然此时xo点为极小值点；当xo点的二阶导数小于0，肯定存在xo邻域: f'(x)/(x-xo) <0( 当x在xo右侧，一阶导数小于0，左侧，一阶导数大于0），此时xo点为极大值点。
当二阶导数等于0，此时一阶导数在驻点两侧不变号，经过xo点单调性保持不变，故非极值点。

判断xo是拐点理由：
f(x)在xo点的三阶导数：f'''（xo)=lim[f"(x)-f"(xo)]/(x-xo)=limf''(x)/(x-xo) x→xo
上式是由xo二阶导数为0推得，当xo三阶导数不为零时，假设大于0，根据极限的保号性，在xo的某邻域内必有：f''(x)/(x-xo) >0,可得出xo右侧二阶导数大于0为凹，xo左侧二阶导数小于0为凸，故xo为拐点；当三阶导数小于0，同理也能得出x0为拐点的结论。只有在三阶导数=0时，才能说xo非拐点。

以上证明仅供参考，如有疑问可继续追问！

Answer 2

f（x）=f（x0）+f'(x0)*(x-x0)+1/2!f''(x0)*(x-x0)^2+1/3!f'''(x0)*(x-x0)^3+……
即泰勒展开
在x0附近，由条件得f=f(x0)+1/6*f'''(x0)^(x-x0)^3+……
显然，f在x0处不是极值点：它有单调性。