已知二次函数y=-x²+x+2
与x轴交于A、B，与y轴交于C
在抛物线上取一点P，同时在x轴上取一点Q，使以B、P、Q为顶点的三角形与△OAC相似。这样的△BPQ共有几个。
写出所有点P的坐标并写出过程。
过程不用也可以
◆刚刚看到这题目,本题虽然难度不大,倒也不太容易.
解:由题意可知,A为(-1,0),B为(2,0),C为(0,2).
故⊿AOC中,AO:OC=1:2,且∠AOC=90°.
若以P,B,Q为顶点的三角形与⊿AOC相似,则⊿PBQ也为直角三角形,且两直角边之比为1:2.
当点P在第一象限时,显然∠PBQ<90°,则∠PQB=90°或∠QPB=90°.
(1)当∠PQB=90°时:作PQ垂直X轴于Q,设点P为(m,-m²+m+2),则：
BQ=2-m,PQ=-m²+m+2.令BQ:PQ=1:2,则2BQ=PQ,2(2-m)=-m²+m+2,m=1或2；
m=2时,P与B重合(舍去).
故P为(1,2),即图中的P1;
过点P1作P1B的垂线,交X轴于Q2,则⊿Q2P1B∽⊿P1Q1B.
∴⊿Q2P1B∽⊿COA.(相似形的传递性)
即以P1(1,2)为顶点且与⊿AOC相似的三角形有两个,分别为⊿P1Q1B和⊿P1Q2B.
(2)当点P在第二象限内的抛物线上时,同理可求得:P2为(-1/2,5/4);
同样有两个三角形与⊿AOC相似,分别为⊿P2Q3B和⊿P2Q4B;
(3)当点P在第三象限内的抛物线上时,同理可求得:P3为(-3/2,-7/4),P4为(-3,-10).
以P3为顶点,且与⊿AOC相似的三角形也有两个,分别为⊿P3Q5B和⊿P3Q6B;
以P4为顶点,且与⊿AOC相似的三角形也有两个,分别为⊿P4Q2B和⊿P4Q7B.
(注:过P4作P4B的垂线,该垂线与X轴的交点即为Q7.)
而题目并没有明确哪个点是A，哪个点是B。因此要分情况讨论。
同时，对确定的A点，还需要考虑AOC与BPQ相似时的直角顶点与对应边的情况追问
……啥叫与x轴交于A、B，就是左A右B！
还有……我花了一天都算出来了，8个三角形，4种答案。
同学……你错了= =
P1(1,2)，P2(-1/2,5/4)，P3(-3/2,-7/4)
祝开心！希望能帮到你~~追问
其实……
8个三角形，4种答案才是对的。
我算出来了= =
当时回答的时候没有动笔算，心算的，估计被我漏了一种情况~~囧了~~
追问心算……
追答确实是心算的，没考虑全面，你采纳的答案是借助几何画板做出来的，任何平面几何题用几何画板做就很容易，算不了什么~~