求大家帮我解个题目。证明正交实矩阵A的特征值为1或-1.谢谢大家给个详细的解析，求大家了！！

Question

如题所述

Answer 1

注意，这个结论是错的，也算比较常见的错误了
反例很多，比如说
A=
cost sint
-sint cost
只要sint非零A就没有实特征值，根本谈不上1或-1

命题可以简单修正成
实正交阵的实特征值只能是1或-1
正交阵的行列式只能是1或-1

事实上实正交阵的特征值在单位圆周上，共轭虚根成对出现
并且反过来只要同时满足以上两条的任何有限个复数就一定可以作为某个实正交阵的特征值

Answer 2

证: 设A是正交矩阵, λ是A的特征值, α是A的属于λ的特征向量
则 A^TA = E (E单位矩阵), Aα=λα, α≠0

考虑向量λα与λα的内积.
一方面, (λα,λα)=λ^2(α,α).
另一方面,
(λα,λα) = (Aα,Aα) = (Aα)^T(Aα) = α^TA^TAα
= α^Tα = (α,α).
所以有 λ^2(α,α) = (α,α).
又因为 α≠0, 所以 (α,α)>0.
所以 λ^2 = 1.
所以 λ = ±1.本回答被网友采纳

Answer 3

如果它有实的特征值，那么必为+-1
但是正交实矩阵有可能特征值全为复数