已知函数f(x)=x-2/x+1-alnx，a＞0， （Ⅰ）讨论 的单调性

Question

已知函数f(x)=x-2/x+1-alnx，a＞0， （Ⅰ）讨论 的单调性； （Ⅱ）设a=3，求 在区间{1，e平方 }上值域。期中e=2.7182

Answer 1

[x^(-1)]'=-x^(-2)
f'(x)=1+2/x^2-a/x=(x^2-ax+2)/x^2
定义域x>0
所以x^2>0
x^2-ax+2=(x-a/2)^2-a^2/4+2
若2-a^2/4>=0
-2√2<=a<=2√2,又a>0
即0<a<=2√2
则x^2-ax+2恒大于等于0
则f'(x)>=0
增函数

若a>2√2
x^2-ax+2=0
x=[a±√(a^2-8)]/2
则若x^2-ax+2>0,x>[a+√(a^2-8)]/2,x<[a-√(a^2-8)]/2
若x^2-ax+2<0,[a-√(a^2-8)]/2<x<[a+√(a^2-8)]/2
定义域x>0

综上
0<a<=2√2，f(x)是增函数

a>2√2,则x>[a+√(a^2-8)]/2,0<[a-√(a^2-8)]/2时是增函数，
[a-√(a^2-8)]/2<x<[a+√(a^2-8)]/2时是减函数
a=3
f'(x)=1+2/x^2-3/x=(x^2-3x+2)/x^2=0，x=1，x=2
则x>2时是增函数，
1<x<2是减函数
所以x=2最小=2-3ln2
x=1或e^2最大
f(e^2)=e^2-2/e^2-5最大
[2-3ln2,e^2-2/e^2-5]

Answer 2

1.求导 令它=0 解方程 得到2和a有关个值 根据a的范围讨论单调性
2.把a带入方程 根据单调性 找出在区间{1，e平方 }上的最大最小值 即得值域

Answer 3

⒈f(x)'=(x^2-ax+2)/x^2；（x＞0）
①△=b^2-4ac=a^2-8≤0 0 ≤a≤2√2
f(x)在x＞0衡为增；
②△=b^2-4ac=a^2-8 a>2√2
x=±√(a^2-2)+a/2;
f(x)在(-√(a^2-2)+a/2,√(a^2-2)+a/2)为减；
f(x)在（0,-√(a^2-2)+a/2)）和（√(a^2-2)+a/2)，+∞）为增；
⒉当a=3时；此时f(x)在（1,2）为减（2，+∞）为增；
所以f（x）的值域为[7/6-3ln（3/2），0]